集美大学 2024年数学分析第11题
📝 题目
11、设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的偏导数，且对于任意的光滑封闭曲面 $S$ ，均有
$$
\iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上，有 $\displaystyle P_{x}+Q_{y}+R_{z} \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解已知条件并转化为向量场通量形式
已知对任意光滑封闭曲面 $S$，有
\[
\iint_{S} P \, dy\,dz + Q \, dz\,dx + R \, dx\,dy = 0.
\]
该曲面积分是向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 通过曲面 $S$ 的通量，记作 $\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中 $\mathbf{n}$ 为外法向。
公式：\iint_{S} P \, dy\,dz + Q \, dz\,dx + R \, dx\,dy = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS
提示：注意曲面积分的形式与向量场通量的对应关系，$dy\,dz$ 对应 $x$ 方向分量，$dz\,dx$ 对应 $y$ 方向分量，$dx\,dy$ 对应 $z$ 方向分量。
步骤 2/4
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
由于 $P, Q, R$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上具有连续偏导数，对任意由光滑封闭曲面 $S$ 所围成的区域 $\Omega$，高斯公式成立：
\[
\iint_{S} P \, dy\,dz + Q \, dz\,dx + R \, dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV.
\]
由题设条件，该曲面积分恒为零，因此对任意这样的区域 $\Omega$，有
\[
\iiint_{\Omega} \left( P_x + Q_y + R_z \right) dV = 0.
\]
公式：\iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV = 0
提示：高斯公式要求 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 内具有连续偏导数，题目已满足，可直接使用。
步骤 3/4
目标：由区域任意性推出被积函数恒为零
假设存在一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 使得 $P_x + Q_y + R_z > 0$。由于偏导数连续，存在该点的一个小邻域，在该邻域内散度仍为正。取这个邻域作为一个很小的球体区域 $\Omega$，则三重积分 $\iiint_{\Omega} (P_x + Q_y + R_z) dV > 0$，与上一步得到的零矛盾。同理，若散度在某点小于零也会导致矛盾。因此，在整个 $\mathbb{R}^3$ 上必须有 $P_x + Q_y + R_z \equiv 0$。
公式：P_x + Q_y + R_z \equiv 0
提示：连续性保证局部正（负）性可以推广到小区域，从而通过积分非零导出矛盾。
步骤 4/4
目标：总结结论
由高斯公式及任意封闭曲面积分为零的条件，可得对任意空间区域，散度的三重积分为零，再由连续性推出散度恒为零，即
\[
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \equiv 0.
\]
公式：\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \equiv 0
提示：证明的关键是利用反证法和连续函数的局部保号性。
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