7．若 $\displaystyle{\int f(x) \mathrm{d} x=x \sin x+C}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$
理解题意
题目给出了不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x = x \sin x + C$，要求我们求定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$。
利用不定积分求原函数
根据不定积分的定义，$f(x)$ 是 $x \sin x + C$ 的导数。因此，我们可以先求 $x \sin x + C$ 的导数。
求导
对 $x \sin x + C$ 求导：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x \sin x + C) = \sin x + x \cos x + 0 = \sin x + x \cos x$$
因此，$f(x) = \sin x + x \cos x$。
计算定积分
现在我们需要计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + x \cos x) \mathrm{d} x$。可以将其拆分为两个积分：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x$$
计算第一个积分
第一个积分是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x$：
$$\int \sin x \mathrm{d} x = -\cos x + C$$
因此，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x = -\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos 0 = 0 + 1 = 1$$
计算第二个积分
第二个积分是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x$，需要使用分部积分法。设 $u = x$，$\mathrm{d} v = \cos x \mathrm{d} x$，则 $\mathrm{d} u = \mathrm{d} x$，$v = \sin x$。
分部积分公式为：
$$\int u \mathrm{d} v = u v - \int v \mathrm{d} u$$
因此，
$$\int x \cos x \mathrm{d} x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d} x = x \sin x + \cos x + C$$
于是，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x = \left. x \sin x + \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$$
合并结果
将两个积分的结果相加：
$$1 + \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{2}$$
因此，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2}$。