我们需要比较四个定积分的大小。首先计算每个积分的值： A: $\int_{0}^{1} x^{2} dx = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ B: $\int_{0}^{1} x^{3} dx = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ C: $\int_{0}^{1} x dx = \left. \frac{x^{2}}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}$ D: $\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \left. \frac{2x^{3/2}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{2}{3}$ 比较结果：$\frac{2}{3} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$，因此最大的定积分是D选项。

我们需要将极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+i^{2}}$ 转换为积分形式。首先，将表达式改写为： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^{2}}$ 这对应于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} dx$，其中 $x = \frac{i}{n}$，$\Delta x = \frac{1}{n}$。因此，正确的积分是B选项。

A选项的积分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} dx$ 不正确，因为被积函数与极限表达式不匹配。 C和D选项的积分区间为 $[0, +\infty)$，与极限的区间 $[0,1]$ 不符，因此不正确。