2．极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+i^{2}}}$ 可以通过下面哪个积分计算？ ．
A $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x}$
B $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x}$
C $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x}$
D$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$
将极限表达式变形为黎曼和的形式
原极限为 \(\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{n}{n^2+i^2}\)，将分子分母同除以 \(n^2\) 得：\(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+(i/n)^2}\)。
识别黎曼和对应的积分
令 \(x_i = i/n\)，则 \(\Delta x = 1/n\)，求和式 \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+(i/n)^2}\) 对应于函数 \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) 在区间 \([0,1]\) 上的黎曼和。
写出极限对应的积分
因此极限等于 \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx\)，对应选项 B。