人邮高数 第2章 第2-3-4题
📝 题目
4．函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta x=0.2$ ，对应的函数增量和线性主部都等于 0.8 ，求点 $x_{0}$ 处的导数。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处有增量 $\Delta x = 0.2$，对应的函数增量 $\Delta y = 0.8$，且线性主部也等于 0.8。 线性主部即为微分 $\mathrm{d}y$，满足 $$ \mathrm{d}y = f'(x_0) \Delta x. $$ 由题意， $$ \Delta y = 0.8,\quad \mathrm{d}y = 0.8,\quad \Delta x = 0.2. $$ 因此 $$ f'(x_0) \cdot 0.2 = 0.8, $$ 解得 $$ f'(x_0) = \frac{0.8}{0.2} = 4. $$
因此，点 $x_0$ 处的导数为 $4$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解题意，识别已知条件
已知函数 y=f(x) 在点 x0 处有增量 Δx=0.2，对应的函数增量 Δy=0.8，且线性主部也等于 0.8。线性主部即微分 dy。
提示：注意线性主部就是微分 dy，它等于 f'(x0)Δx。
步骤 2/3
目标：建立微分与导数的关系
由微分定义，dy = f'(x0) Δx。根据题意，dy = 0.8，Δx = 0.2，代入得 f'(x0) * 0.2 = 0.8。
公式：dy = f'(x0) Δx
提示：微分 dy 是函数增量的线性主部。
步骤 3/3
目标：求解导数
解方程 f'(x0) * 0.2 = 0.8，得 f'(x0) = 0.8 / 0.2 = 4。
提示：除法计算要准确。
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