人邮高数 第2章 第2-4-1题
📝 题目
1．罗尔定理对下列函数是否成立？ （1）$\displaystyle f(x)=\ln (\sin x),\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ ； （2）$\displaystyle f(x)=\frac{3}{x^{2}+1},[-1,1]$ ； （3）$f(x)=x \sqrt{3-x},[0,3]$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题2-4 第1题** 罗尔定理成立的条件：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且区间端点函数值相等。下面逐一验证。
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### （1）$ f(x)=\ln(\sin x) $，区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$
- **连续性**：在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ 上，$\sin x > 0$，故 $\ln(\sin x)$ 连续，满足闭区间连续。 - **可导性**：在开区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$ 内，$\sin x > 0$，导数为 $$ f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $$ 存在，满足开区间可导。 - **端点值**： $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \ln\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \ln\frac12, \quad f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \ln\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \ln\frac12 $$ 相等。
**结论**：罗尔定理成立。
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### （2）$ f(x)=\frac{3}{x^2+1} $，区间 $[-1,1]$
- **连续性**：分母 $x^2+1 \ge 1$，函数在 $\mathbb{R}$ 上连续，故在 $[-1,1]$ 上连续。 - **可导性**： $$ f'(x) = -\frac{6x}{(x^2+1)^2} $$ 在 $(-1,1)$ 内存在，满足可导。 - **端点值**： $$ f(-1) = \frac{3}{1+1} = \frac32,\quad f(1) = \frac{3}{1+1} = \frac32 $$ 相等。
**结论**：罗尔定理成立。
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### （3） $ f(x)=x\sqrt{3-x} $，区间 $[0,3]$
- **连续性**：根号内 $3-x \ge 0$，在 $[0,3]$ 上连续，故函数连续。 - **可导性**：在开区间 $(0,3)$ 内， $$ f'(x) = \sqrt{3-x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2(3-x) - x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}} $$ 当 $x=3$ 时导数为无穷大（不可导），但区间端点 $x=3$ 不在开区间内，开区间 $(0,3)$ 内导数存在，满足可导条件。 - **端点值**： $$ f(0) = 0 \cdot \sqrt{3} = 0,\quad f(3) = 3 \cdot \sqrt{0} = 0 $$ 相等。
**结论**：罗尔定理成立。
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**最终答案**：三个函数均满足罗尔定理条件，因此罗尔定理对它们都成立。