人邮高数 第1章 第1-1-5题
📝 题目
5．设 $x \in U(1, \delta)$ 时，$|2 x-2|\lt \varepsilon$ ，当 $\varepsilon$ 分别等于 0.1 和 0.01 时，求邻域半径 $\delta$ 各等于多少．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知条件：当 $x \in U(1, \delta)$ 时，有 $|2x - 2| < \varepsilon$。 $U(1, \delta)$ 表示以 $1$ 为中心、$\delta$ 为半径的去心邻域或邻域，这里我们理解为通常的邻域（包含 $x=1$ 的情况，因为 $x=1$ 时不等式显然成立）。 由 $|2x - 2| = 2|x - 1|$，因此条件等价于 $$ 2|x - 1| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad |x - 1| < \frac{\varepsilon}{2}. $$ 所以，要使 $x \in U(1, \delta)$ 时不等式成立，只需取 $$ \delta = \frac{\varepsilon}{2}. $$
- 当 $\varepsilon = 0.1$ 时， $$ \delta = \frac{0.1}{2} = 0.05. $$
- 当 $\varepsilon = 0.01$ 时， $$ \delta = \frac{0.01}{2} = 0.005. $$
因此答案为： $\varepsilon = 0.1$ 时，$\delta = 0.05$； $\varepsilon = 0.01$ 时，$\delta = 0.005$。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将条件转化为关于|x-1|的不等式
由|2x-2| = 2|x-1|，条件|2x-2| < ε等价于2|x-1| < ε，即|x-1| < ε/2。
公式：|2x-2| = 2|x-1|
提示：注意绝对值运算的线性性质。
步骤 2/4
目标：确定δ与ε的关系
要使x ∈ U(1, δ)时不等式成立，只需取δ = ε/2。
公式：δ = ε/2
提示：邻域半径δ应满足|x-1| < δ，与|x-1| < ε/2比较可得δ = ε/2。
步骤 3/4
目标：代入ε=0.1求δ
当ε=0.1时，δ = 0.1/2 = 0.05。
步骤 4/4
目标：代入ε=0.01求δ
当ε=0.01时，δ = 0.01/2 = 0.005。
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