人邮高数 第2章 第2-4-4题
📝 题目
4．已知函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，不求 $f(x)$ 的导数，讨论方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根数量并指出它们所在的区间。
💡 答案解析
[AI解答]
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**分析**： 函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 是四次多项式，其导数为三次多项式，因此方程 $f'(x)=0$ 最多有三个实根。 由于 $f(x)$ 有四个不同的实根 $x=1,2,3,4$，根据**罗尔定理**，在每两个相邻根之间，导数至少有一个零点。
**步骤**：
1. 函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(1)=f(2)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (1,2)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$。 2. 同理，在区间 $[2,3]$ 上，$f(2)=f(3)=0$，存在 $\xi_2 \in (2,3)$ 使得 $f'(\xi_2)=0$。 3. 在区间 $[3,4]$ 上，$f(3)=f(4)=0$，存在 $\xi_3 \in (3,4)$ 使得 $f'(\xi_3)=0$。
这样我们找到了三个不同的实根，分别位于区间 $(1,2)$、$(2,3)$、$(3,4)$ 内。 由于 $f'(x)$ 是三次多项式，最多有三个实根，因此这些就是全部实根。
**结论**： 方程 $f'(x)=0$ 有 **3 个实根**，分别位于区间 $$(1,2),\quad (2,3),\quad (3,4)$$ 内。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数性质
函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) 是四次多项式，其导数是三次多项式，因此方程 f'(x)=0 最多有三个实根。
提示：多项式次数决定导数次数。
步骤 2/5
目标：应用罗尔定理
f(x) 在区间 [1,2] 上连续，在 (1,2) 内可导，且 f(1)=f(2)=0，由罗尔定理，存在 ξ₁∈(1,2) 使得 f'(ξ₁)=0。
公式：罗尔定理：若 f(a)=f(b)，则存在 c∈(a,b) 使 f'(c)=0。
提示：注意检查连续性和可导性。
步骤 3/5
目标：应用罗尔定理
同理，在区间 [2,3] 上，f(2)=f(3)=0，存在 ξ₂∈(2,3) 使得 f'(ξ₂)=0。
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理
在区间 [3,4] 上，f(3)=f(4)=0，存在 ξ₃∈(3,4) 使得 f'(ξ₃)=0。
步骤 5/5
目标：总结实根数量与区间
找到三个不同的实根，分别位于区间 (1,2)、(2,3)、(3,4) 内。由于 f'(x) 是三次多项式，最多有三个实根，因此这些就是全部实根。
提示：三次多项式最多三个实根。
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