人邮高数 第2章 第2-4-6题

教材习题

📝 题目

6．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2} +\cdots+a_{n-1}=0$ 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根。

💡 答案解析

[AI解答]

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我们已知方程 $$ a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x = 0 $$ 有一个正根 $x = x_0$，即 $$ a_{0} x_0^{n}+a_{1} x_0^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x_0 = 0. $$ 显然 $x=0$ 也是该方程的一个根，因为代入 $x=0$ 得左边为0。因此原方程在区间 $[0, x_0]$ 上有两个根 $0$ 和 $x_0$。

考虑函数 $$ f(x) = a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x, $$ 它在 $[0, x_0]$ 上连续，在 $(0, x_0)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(x_0)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0, x_0)$ 使得 $$ f'(\xi) = 0. $$

计算导数： $$ f'(x) = a_{0} n x^{n-1} + a_{1} (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}. $$ 因此存在 $\xi \in (0, x_0)$ 满足 $$ a_{0} n \xi^{n-1} + a_{1} (n-1) \xi^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0, $$ 即方程 $$ a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2} +\cdots+a_{n-1}=0 $$ 有一个小于 $x_0$ 的正根 $\xi$。证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：明确已知条件
已知方程 $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x = 0$ 有一个正根 $x = x_0$，即 $a_0 x_0^n + a_1 x_0^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x_0 = 0$。同时，$x=0$ 也是该方程的根，因为代入 $x=0$ 得左边为0。
提示：注意原方程缺少常数项，因此 $x=0$ 是根。
步骤 2/3
目标：构造函数并应用罗尔定理
令 $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x$，则 $f(x)$ 在 $[0, x_0]$ 上连续，在 $(0, x_0)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(x_0)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0, x_0)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。
提示：验证 $f(0)=0$ 和 $f(x_0)=0$ 是应用罗尔定理的关键。
步骤 3/3
目标：计算导数并得出结论
计算 $f'(x) = a_0 n x^{n-1} + a_1 (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$。由 $f'(\xi)=0$ 得 $a_0 n \xi^{n-1} + a_1 (n-1) \xi^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0$，即 $\xi$ 是方程 $a_0 n x^{n-1} + a_1 (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0$ 的一个小于 $x_0$ 的正根。
公式：$f'(x) = a_0 n x^{n-1} + a_1 (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$
提示：注意导数中每一项的系数是原系数乘以指数。

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