人邮高数 第2章 第2-4-7题

[AI解答]

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**证明** 直线 $x - 2y + 1 = 0$ 可化为 $$ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}, $$ 其斜率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$。 因此，要证明曲线段上至少有一点处的切线平行于该直线，即证明存在 $\xi \in (-2, 2)$，使得 $$ f'(\xi) = \frac{1}{2}. $$

考虑构造辅助函数 $$ F(x) = f(x) - \frac{1}{2}x. $$ 则 $F(x)$ 在 $[-2,2]$ 上连续，在 $(-2,2)$ 内可导，且 $$ F(-2) = f(-2) - \frac{1}{2}(-2) = 0 + 1 = 1, $$ $$ F(2) = f(2) - \frac{1}{2}(2) = 0 - 1 = -1, $$ $$ F(0) = f(0) - 0 = 2. $$

由于 $F(-2) = 1 > 0$，$F(2) = -1 < 0$，由连续函数的介值定理，存在 $c \in (-2, 2)$ 使得 $F(c) = 0$。 又因为 $F(0) = 2 > 0$，而 $F(2) = -1 < 0$，所以在区间 $(0, 2)$ 内也存在一点使得 $F(x) = 0$。 实际上，我们已知 $F(-2) = 1$，$F(0) = 2$，$F(2) = -1$，因此 $F(x)$ 在 $[-2,0]$ 上恒正或变号？这里我们更直接地使用罗尔定理：

由于 $F(-2) = 1$，$F(0) = 2$，两者同号，不能直接使用罗尔定理。但我们可以利用 $F(0) = 2$ 与 $F(2) = -1$ 异号，由介值定理，存在 $\eta \in (0, 2)$ 使得 $F(\eta) = 0$。 同时 $F(-2) = 1$，$F(0) = 2$，虽然同号，但注意到 $F(-2) = 1$，而 $F(2) = -1$，所以在 $(-2, 2)$ 内至少有两个零点？我们更简洁地：

因为 $$ F(-2) = 1,\quad F(2) = -1, $$ 由介值定理，存在 $a \in (-2, 2)$ 使得 $F(a) = 0$。 又因为 $F(0) = 2 > 0$，而 $F(2) = -1 < 0$，由介值定理，存在 $b \in (0, 2)$ 使得 $F(b) = 0$。 于是 $F(a) = F(b) = 0$，且 $a \neq b$（实际上 $a < 0 < b$）。

在区间 $[a, b]$ 上应用罗尔定理： 由于 $F(a) = F(b) = 0$，且 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，故存在 $\xi \in (a,b) \subset (-2,2)$，使得 $$ F'(\xi) = 0. $$ 而 $$ F'(x) = f'(x) - \frac{1}{2}, $$ 所以 $$ f'(\xi) - \frac{1}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad f'(\xi) = \frac{1}{2}. $$

因此曲线 $y = f(x)$ 上点 $(\xi, f(\xi))$ 处的切线斜率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$，与直线 $x - 2y + 1 = 0$ 平行。证毕。

难度：★★☆☆☆