人邮高数 第2章 第2-4-9题
📝 题目
9．设 $f(x) 、 g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $\left|\begin{array}{ll}f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b)\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi)\end{array}\right|$.
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。 要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得：
$$ \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix} = (b-a) \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}. $$
**证明步骤：**
1. 构造辅助函数 考虑函数 $$ F(x) = \begin{vmatrix} f(a) & f(x) \\ g(a) & g(x) \end{vmatrix} = f(a)g(x) - g(a)f(x). $$ 显然 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $$ F'(x) = f(a)g'(x) - g(a)f'(x) = \begin{vmatrix} f(a) & f'(x) \\ g(a) & g'(x) \end{vmatrix}. $$
2. 应用拉格朗日中值定理 由于 $F(x)$ 满足拉格朗日中值定理条件，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $$ F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a). $$
3. 计算两端 首先， $$ F(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix}, $$ 而 $$ F(a) = f(a)g(a) - g(a)f(a) = 0. $$ 所以 $$ F(b) - F(a) = \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix}. $$
其次， $$ F'(\xi) = \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}. $$
因此代入拉格朗日中值公式得 $$ \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix} = (b-a) \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}. $$
证毕。
难度：★★☆☆☆