人邮高数 第2章 第2-6-1题

[AI解答]

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以下为各小题的详细解答，均通过求导并分析导数的符号来确定单调区间。

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### （1）$y=2+x-x^{2}$

求导： $$ y' = 1 - 2x $$ 令 $y'=0$ 得 $\displaystyle x=\frac12$。 当 $\displaystyle x<\frac12$ 时，$y'>0$；当 $\displaystyle x>\frac12$ 时，$y'<0$。

因此： - 单调递增区间：$\displaystyle(-\infty,\frac12)$ - 单调递减区间：$\displaystyle(\frac12,+\infty)$

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### （2）$\displaystyle y=\frac{2x}{1+x^{2}}$

求导： $$ y' = \frac{2(1+x^2) - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} $$ 令 $y'=0$ 得 $x=\pm1$。

- 当 $x<-1$ 时，$y'<0$； - 当 $-10$； - 当 $x>1$ 时，$y'<0$。

因此： - 单调递减区间：$\displaystyle(-\infty,-1)$ 和 $\displaystyle(1,+\infty)$ - 单调递增区间：$\displaystyle(-1,1)$

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### （3）$\displaystyle y=2x+\frac{8}{x}\quad(x>0)$

求导： $$ y' = 2 - \frac{8}{x^2} $$ 令 $y'=0$ 得 $\displaystyle 2 = \frac{8}{x^2} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2$（因 $x>0$）。

- 当 $02$ 时，$y'>0$。

因此： - 单调递减区间：$\displaystyle(0,2)$ - 单调递增区间：$\displaystyle(2,+\infty)$

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### （4）$y=2x^{2}-\ln x$

定义域：$x>0$。 求导： $$ y' = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x} $$ 令 $y'=0$ 得 $\displaystyle 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\frac12$（正根）。

- 当 $\displaystyle 0\frac12$ 时，$y'>0$。

因此： - 单调递减区间：$\displaystyle(0,\frac12)$ - 单调递增区间：$\displaystyle(\frac12,+\infty)$

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### （5）$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x}}{x+100}\quad(x\ge 0)$

求导（使用商法则）： $$ y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+100) - \sqrt{x}\cdot 1}{(x+100)^2} = \frac{\frac{x+100}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+100)^2} = \frac{x+100 - 2x}{2\sqrt{x}(x+100)^2} = \frac{100 - x}{2\sqrt{x}(x+100)^2} $$ 令 $y'=0$ 得 $x=100$。

- 当 $0\le x<100$ 时，$y'>0$； - 当 $x>100$ 时，$y'<0$。

因此： - 单调递增区间：$\displaystyle[0,100)$ - 单调递减区间：$\displaystyle(100,+\infty)$

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### （6）$y=x+\sin x$

求导： $$ y' = 1 + \cos x $$ 由于 $\cos x \ge -1$，所以 $1+\cos x \ge 0$，且仅在 $\cos x = -1$ 即 $x=(2k+1)\pi$ 时导数为0，其余点均大于0。

因此函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，无严格递减区间。

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### （7）$f(x)=x-\arctan x$

定义域：$\mathbb{R}$。 求导： $$ f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \ge 0 $$ 等号仅在 $x=0$ 时成立，其余点均大于0。

因此函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

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### （8）$y=x^{2}-\ln x^{2}$

注意 $x^2>0$ 即 $x\neq0$，定义域为 $x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。 化简：$\ln x^2 = 2\ln|x|$，因此： $$ y = x^2 - 2\ln|x| $$ 分段求导： - 当 $x>0$ 时，$\displaystyle y' = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2-1)}{x}$ 令 $y'=0$ 得 $x=1$（正根）。 当 $01$ 时 $y'>0$。 - 当 $x<0$ 时，令 $t=-x>0$，则 $y=t^2-2\ln t$，导数形式相同，但注意 $x$ 为负时，$\displaystyle y' = 2x - \frac{2}{x}$ 仍然成立（因为 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac1x$）。 令 $y'=0$ 得 $x=-1$。 当 $x<-1$ 时 $y'>0$，当 $-1

因此： - 单调递增区间：$\displaystyle(-1,0)$ 和 $\displaystyle(1,+\infty)$ - 单调递减区间：$\displaystyle(-\infty,-1)$ 和 $\displaystyle(0,1)$

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以上为全部解答。