人邮高数 第2章 第2-6-12题

[AI解答]

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我们需要确定曲线 $$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$$ 中的常数 $a,b,c,d$，满足以下条件：

1. 在 $x=-2$ 处有水平切线，即 $y'(-2)=0$。 2. 点 $(1,-10)$ 是曲线的拐点，即 $y''(1)=0$，且该点在曲线上：$y(1)=-10$。 3. 点 $(-2,44)$ 在曲线上：$y(-2)=44$。

**第一步：求导数**

一阶导数： $$ y'(x) = 3a x^{2} + 2b x + c $$

二阶导数： $$ y''(x) = 6a x + 2b $$

**第二步：根据条件列出方程**

条件1：在 $x=-2$ 处水平切线，即 $y'(-2)=0$： $$ 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 $$ $$ 12a - 4b + c = 0 \quad\quad (1) $$

条件2：$(1,-10)$ 是拐点，所以 $y''(1)=0$： $$ 6a(1) + 2b = 0 $$ $$ 6a + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a + b = 0 \quad\quad (2) $$ 同时该点在曲线上： $$ a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = -10 $$ $$ a + b + c + d = -10 \quad\quad (3) $$

条件3：点 $(-2,44)$ 在曲线上： $$ a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = 44 $$ $$ -8a + 4b - 2c + d = 44 \quad\quad (4) $$

**第三步：解方程组**

由(2)得： $$ b = -3a $$

代入(1)： $$ 12a - 4(-3a) + c = 0 $$ $$ 12a + 12a + c = 0 $$ $$ 24a + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -24a $$

将 $b=-3a$，$c=-24a$ 代入(3)： $$ a + (-3a) + (-24a) + d = -10 $$ $$ a - 3a - 24a + d = -10 $$ $$ -26a + d = -10 \quad\Rightarrow\quad d = 26a - 10 $$

将 $b=-3a$，$c=-24a$，$d=26a-10$ 代入(4)： $$ -8a + 4(-3a) - 2(-24a) + (26a - 10) = 44 $$ $$ -8a -12a + 48a + 26a - 10 = 44 $$ 合并 $a$ 的系数： $$ (-8 -12 + 48 + 26)a = 54a $$ 所以： $$ 54a - 10 = 44 $$ $$ 54a = 54 $$ $$ a = 1 $$

于是： $$ b = -3(1) = -3 $$ $$ c = -24(1) = -24 $$ $$ d = 26(1) - 10 = 16 $$

**第四步：写出曲线方程**

所求曲线为： $$ \boxed{y = x^{3} - 3x^{2} - 24x + 16} $$