人邮高数 第2章 第2-6-8题
📝 题目
8．判断下列曲线的凹凸性： （1）$y=4 x-x^{2}$ ； （2）$y=x \arctan x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1）对于 $y = 4x - x^{2}$，先求一阶导数和二阶导数： $$ y' = 4 - 2x, \quad y'' = -2. $$ 由于二阶导数 $y'' = -2 < 0$ 恒成立，因此函数在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是**凹函数**（即凸向下的曲线）。
（2）对于 $y = x \arctan x$，先求一阶导数： $$ y' = \arctan x + \frac{x}{1+x^{2}}. $$ 再求二阶导数： $$ y'' = \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{(1+x^{2}) - x \cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}. $$ 通分合并： $$ y'' = \frac{1+x^{2} + 1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{2}{(1+x^{2})^{2}} > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}. $$ 因此函数在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是**凸函数**（即凸向上的曲线）。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断曲线 y=4x-x^2 的凹凸性
求一阶导数 y'=4-2x，再求二阶导数 y''=-2。由于二阶导数恒小于0，函数在R上是凹函数（凸向下）。
公式：y'' = -2 < 0
提示：二阶导数小于0，曲线凹（凸向下）。
步骤 2/2
目标：判断曲线 y=x arctan x 的凹凸性
求一阶导数 y'=arctan x + x/(1+x^2)，再求二阶导数 y''=1/(1+x^2) + (1-x^2)/(1+x^2)^2 = 2/(1+x^2)^2 > 0。由于二阶导数恒大于0，函数在R上是凸函数（凸向上）。
公式：y'' = 2/(1+x^2)^2 > 0
提示：二阶导数大于0，曲线凸（凸向上）。
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