人邮高数 第2章 第2-6-*16题
📝 题目
＊16．利用曲线的凹凸性证明不等式：$\displaystyle x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}$ ，其中 $x\gt 0, y\gt 0$ 且 $x \neq y$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**：考虑函数 $ f(t) = t \ln t $，定义域为 $ t > 0 $。 首先求其导数与二阶导数：
$$ f'(t) = \ln t + 1, \quad f''(t) = \frac{1}{t} > 0 \quad (t > 0). $$
由于 $ f''(t) > 0 $，所以 $ f(t) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上是严格凸函数。
对于凸函数，由 Jensen 不等式（或凸函数的定义），对任意两个正数 $ x, y $ 且 $ x \neq y $，有
$$ f\!\left( \frac{x+y}{2} \right) < \frac{f(x) + f(y)}{2}. $$
代入 $ f(t) = t \ln t $，即得
$$ \frac{x+y}{2} \ln \frac{x+y}{2} < \frac{x \ln x + y \ln y}{2}. $$
两边同时乘以 2，得到
$$ x \ln x + y \ln y > (x+y) \ln \frac{x+y}{2}. $$
因此原不等式成立。证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并求导
考虑函数 f(t)=t ln t，定义域 t>0。求一阶导数 f'(t)=ln t+1，二阶导数 f''(t)=1/t。
公式：f'(t)=ln t+1, f''(t)=1/t
提示：二阶导数大于0表明函数是凸函数。
步骤 2/4
目标：判断凹凸性
由于 f''(t)=1/t > 0 对于 t>0 恒成立，所以 f(t) 在 (0,+∞) 上是严格凸函数。
公式：f''(t)>0 ⇒ 凸函数
提示：凸函数的定义：对于任意两点，函数值在弦的下方。
步骤 3/4
目标：应用Jensen不等式
对于凸函数 f，有 f((x+y)/2) < (f(x)+f(y))/2，其中 x≠y。代入 f(t)=t ln t。
公式：f((x+y)/2) < (f(x)+f(y))/2
提示：Jensen不等式是凸函数的性质。
步骤 4/4
目标：推导原不等式
代入得 (x+y)/2 ln((x+y)/2) < (x ln x + y ln y)/2。两边乘以2得 x ln x + y ln y > (x+y) ln((x+y)/2)。
公式：x ln x + y ln y > (x+y) ln((x+y)/2)
提示：注意不等式方向：凸函数中点值小于平均值。
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