人邮高数 第2章 第2-7-16题
📝 题目
16．求双曲线 $x y=4$ 在点 $(2,2)$ 处的曲率．
💡 答案解析
[AI解答]
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**解**： 双曲线方程为 $xy = 4$，可改写为 $$ y = \frac{4}{x}. $$
首先求一阶导数： $$ y' = -\frac{4}{x^2}. $$ 在点 $(2,2)$ 处，代入 $x=2$ 得 $$ y'(2) = -\frac{4}{4} = -1. $$
再求二阶导数： $$ y'' = \frac{8}{x^3}. $$ 在 $x=2$ 处， $$ y''(2) = \frac{8}{8} = 1. $$
曲率公式为 $$ K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{\frac{3}{2}}}. $$
代入 $y'(2) = -1$，$y''(2) = 1$： $$ K = \frac{|1|}{\left(1 + (-1)^2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. $$
因此，双曲线 $xy=4$ 在点 $(2,2)$ 处的曲率为 $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将双曲线方程改写为显函数形式
双曲线方程为 xy = 4，可改写为 y = 4/x。
公式：y = 4/x
提示：将隐函数化为显函数便于求导。
步骤 2/4
目标：求一阶导数 y'
对 y = 4/x 求导，得 y' = -4/x^2。在点 (2,2) 处，代入 x=2，得 y'(2) = -4/4 = -1。
公式：y' = -4/x^2
提示：注意幂函数求导法则。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 y''
对 y' = -4/x^2 求导，得 y'' = 8/x^3。在 x=2 处，y''(2) = 8/8 = 1。
公式：y'' = 8/x^3
提示：二阶导数是一阶导数的导数。
步骤 4/4
目标：代入曲率公式计算曲率 K
曲率公式为 K = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)。代入 y'(2) = -1，y''(2) = 1，得 K = |1| / (1 + (-1)^2)^(3/2) = 1 / (2)^(3/2) = 1 / (2√2)。
公式：K = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)
提示：注意绝对值，分母是 (1+(y')^2) 的 3/2 次方。
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