人邮高数 第2章 第2-7-2题

[AI解答]

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**解**： 函数为 $y = \sin 2x - x$，定义域为 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。

**第一步：求导数** $$ y' = \frac{d}{dx}(\sin 2x - x) = 2\cos 2x - 1. $$

**第二步：求驻点** 令 $y' = 0$，得 $$ 2\cos 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x = \frac{1}{2}. $$ 在区间 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内，$2x \in [-\pi, \pi]$。 满足 $\displaystyle \cos 2x = \frac{1}{2}$ 的解为 $$ 2x = -\frac{\pi}{3} \quad \text{或} \quad 2x = \frac{\pi}{3}. $$ 即 $$ x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{6}. $$

**第三步：计算函数值** 计算端点与驻点处的函数值：

- 当 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{2}$ 时， $$ y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}. $$

- 当 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6}$ 时， $$ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}. $$

- 当 $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ 时， $$ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}. $$

- 当 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ 时， $$ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}. $$

**第四步：比较大小** 比较四个数值： $\displaystyle \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$， $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \approx -0.8660 + 0.5236 = -0.3424$， $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0.8660 - 0.5236 = 0.3424$， $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$。

因此最大值为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，在 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{2}$ 处取得； 最小值为 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$，在 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ 处取得。

**答案**： 最大值 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，最小值 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$。