人邮高数 第2章 第2-7-20题

教材习题

📝 题目

20．求椭圆 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t, \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在点 $(0, b)$ 处的曲率及曲率半径．

💡 答案解析

[AI解答]

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**解**： 已知椭圆参数方程 $$ \begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t, \end{cases} $$ 点 $(0,b)$ 对应参数 $t = \dfrac{\pi}{2}$。

首先计算一阶导数： $$ x'(t) = -a\sin t,\quad y'(t) = b\cos t. $$ 在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处： $$ x'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a,\quad y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0. $$

再计算二阶导数： $$ x''(t) = -a\cos t,\quad y''(t) = -b\sin t. $$ 在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处： $$ x''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0,\quad y''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -b. $$

由参数方程曲率公式： $$ \kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{\bigl[(x')^2 + (y')^2\bigr]^{3/2}}. $$

代入数值： $$ x'y'' - x''y' = (-a)(-b) - (0)(0) = ab, $$ $$ (x')^2 + (y')^2 = (-a)^2 + 0^2 = a^2. $$

因此： $$ \kappa = \frac{|ab|}{(a^2)^{3/2}} = \frac{ab}{a^3} = \frac{b}{a^2}. $$

曲率半径 $R$ 为曲率的倒数： $$ R = \frac{1}{\kappa} = \frac{a^2}{b}. $$

**最终结果**： $$ \boxed{\kappa = \dfrac{b}{a^2},\quad R = \dfrac{a^2}{b}}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定参数 t 的值
点 (0,b) 对应参数 t = π/2，因为 x = a cos t = 0 且 y = b sin t = b。
提示：注意参数方程中 t 的取值
步骤 2/5
目标：计算一阶导数
x'(t) = -a sin t, y'(t) = b cos t。在 t = π/2 处：x'(π/2) = -a, y'(π/2) = 0。
公式：x'(t) = -a sin t, y'(t) = b cos t
步骤 3/5
目标：计算二阶导数
x''(t) = -a cos t, y''(t) = -b sin t。在 t = π/2 处：x''(π/2) = 0, y''(π/2) = -b。
公式：x''(t) = -a cos t, y''(t) = -b sin t
步骤 4/5
目标：代入曲率公式
曲率公式 κ = |x'y'' - x''y'| / [(x')^2 + (y')^2]^(3/2)。代入得：x'y'' - x''y' = (-a)(-b) - (0)(0) = ab，(x')^2 + (y')^2 = a^2。所以 κ = |ab| / (a^2)^(3/2) = ab / a^3 = b / a^2。
公式：κ = |x'y'' - x''y'| / [(x')^2 + (y')^2]^(3/2)
提示：注意绝对值
步骤 5/5
目标：计算曲率半径
曲率半径 R = 1/κ = a^2 / b。
公式：R = 1/κ

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