人邮高数 第2章 第2-7-21题
📝 题目
21．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知椭圆方程： $$ 4x^{2} + y^{2} = 4 $$ 首先将方程写成显式形式，在点 $(0,2)$ 附近，$y>0$，所以 $$ y = \sqrt{4 - 4x^{2}} = 2\sqrt{1 - x^{2}} $$
曲率公式为 $$ K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^{2}\right)^{3/2}} $$
第一步：求一阶导数 $$ y' = 2 \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{2}}} $$ 在 $x=0$ 处： $$ y'(0) = 0 $$
第二步：求二阶导数 $$ y'' = -\frac{2\sqrt{1 - x^{2}} - 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1 - x^{2}} $$ 化简得 $$ y'' = -\frac{2\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{2x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1 - x^{2}} = -\frac{ \frac{2(1 - x^{2}) + 2x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} }{1 - x^{2}} = -\frac{ \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}} }{1 - x^{2}} = -\frac{2}{(1 - x^{2})^{3/2}} $$ 在 $x=0$ 处： $$ y''(0) = -2 $$
第三步：代入曲率公式 $$ K = \frac{| -2 |}{\left(1 + 0^{2}\right)^{3/2}} = 2 $$
因此，椭圆在点 $(0,2)$ 处的曲率为 $$ \boxed{2} $$
难度：★★☆☆☆