人邮高数 第2章 第2-7-22题
📝 题目
22．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求曲线 $y = \ln x$ 上曲率半径最小的点，并求该点处的曲率半径。
**第一步：曲率公式** 对于函数 $y = f(x)$，曲率 $K$ 为： $$ K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} $$ 曲率半径 $R = \frac{1}{K}$。
**第二步：求导数** 已知 $y = \ln x$，定义域 $x > 0$。 一阶导数： $$ y' = \frac{1}{x} $$ 二阶导数： $$ y'' = -\frac{1}{x^2} $$
**第三步：曲率与曲率半径表达式** 代入公式： $$ K = \frac{|-\frac{1}{x^2}|}{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x^3}} = \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} $$ 因此曲率半径： $$ R(x) = \frac{1}{K} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x} $$
**第四步：求 $R(x)$ 的最小值** 因为 $x > 0$，我们直接求 $R(x)$ 的最小值。 对 $R(x)$ 求导： $$ R'(x) = \frac{ \frac{3}{2}(x^2+1)^{1/2} \cdot 2x \cdot x - (x^2+1)^{3/2} \cdot 1 }{x^2} $$ 化简分子： $$ = \frac{ 3x^2 (x^2+1)^{1/2} - (x^2+1)^{3/2} }{x^2} = \frac{ (x^2+1)^{1/2} \left[ 3x^2 - (x^2+1) \right] }{x^2} = \frac{ (x^2+1)^{1/2} (2x^2 - 1) }{x^2} $$
令 $R'(x) = 0$，得： $$ 2x^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac12 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\text{取正值}) $$
**第五步：判断最小值** 当 $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$2x^2 - 1 < 0$，$R'(x) < 0$，函数递减； 当 $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$R'(x) > 0$，函数递增。 因此 $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 处取得最小值。
**第六步：求对应点与曲率半径** 该点坐标为： $$ x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad y_0 = \ln\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac12 \ln 2 $$ 曲率半径： $$ R_{\min} = \frac{ \left( \frac12 + 1 \right)^{3/2} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} } = \frac{ \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} } = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} = \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$
**最终答案** 曲线上点 $\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}},\; -\dfrac12\ln 2 \right)$ 处曲率半径最小，最小曲率半径为 $\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
难度：★★☆☆☆