人邮高数 第3章 第3-1-1题

教材习题

📝 题目

1．下列等式中成立的是（）。 A． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ B．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$ C．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$ D． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 本题考察不定积分与微分之间的基本关系。 已知不定积分的定义：若 $F'(x)=f(x)$，则 $$ \int f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C $$ 其中 $C$ 为任意常数。

逐项分析选项：

A. $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x)$ 由微分定义，$\mathrm{d} \left( \int f(x) \, \mathrm{d}x \right) = \mathrm{d}(F(x)+C) = F'(x) \, \mathrm{d}x = f(x) \, \mathrm{d}x$，而不是 $f(x)$，故 A 错误。

B. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x) \mathrm{d} x$ 左边是导数，结果应为 $f(x)$，而不是 $f(x) \mathrm{d}x$，故 B 错误。

C. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x) + C$ 左边求导后常数 $C$ 消失，应为 $f(x)$，故 C 错误。

D. $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x = f(x) \mathrm{d} x$ 由前面推导，$\mathrm{d} \left( \int f(x) \, \mathrm{d}x \right) = f(x) \, \mathrm{d}x$，故 D 正确。

因此正确答案是 D。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：理解不定积分与微分的关系
不定积分定义为：若 F'(x)=f(x)，则 ∫f(x)dx = F(x)+C。微分运算 d 作用于函数得到其微分：d(F(x)) = F'(x)dx = f(x)dx。
公式：d(∫f(x)dx) = f(x)dx
提示：注意微分与导数的区别：微分结果包含 dx，导数结果不含 dx。
步骤 2/5
目标：分析选项A
选项A：d∫f(x)dx = f(x)。根据微分定义，d∫f(x)dx = f(x)dx，而不是 f(x)，故A错误。
提示：微分运算的结果必须包含 dx。
步骤 3/5
目标：分析选项B
选项B：d/dx ∫f(x)dx = f(x)dx。左边是导数，结果应为 f(x)，而不是 f(x)dx，故B错误。
公式：d/dx ∫f(x)dx = f(x)
提示：导数运算的结果不含 dx。
步骤 4/5
目标：分析选项C
选项C：d/dx ∫f(x)dx = f(x)+C。左边求导后常数C消失，结果应为 f(x)，故C错误。
提示：导数运算会消去常数。
步骤 5/5
目标：分析选项D
选项D：d∫f(x)dx = f(x)dx。根据微分定义，d∫f(x)dx = f(x)dx，故D正确。

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