人邮高数 第3章 第3-1-3题
📝 题目
3．已知平面曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $k=4 x^{3}-1$ ，且曲线经过点 $P(1,3)$ ，求该曲线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知曲线上任意一点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $$ k = \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 1 $$ 因此，曲线方程可由不定积分求得： $$ y = \int (4x^3 - 1) \, dx $$
计算不定积分： $$ y = \int 4x^3 \, dx - \int 1 \, dx $$ $$ y = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - x + C $$ $$ y = x^{4} - x + C $$
又因为曲线经过点 $P(1, 3)$，代入 $x = 1, y = 3$ 得： $$ 3 = 1^{4} - 1 + C $$ $$ 3 = 0 + C \quad \Rightarrow \quad C = 3 $$
故所求曲线方程为： $$ \boxed{y = x^{4} - x + 3} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：根据切线斜率建立微分方程
由题意，曲线上任意一点M(x,y)处的切线斜率为k=4x^3-1，即dy/dx=4x^3-1。
公式：dy/dx = 4x^3 - 1
提示：注意切线斜率就是导数。
步骤 2/5
目标：通过不定积分求曲线方程
对dy/dx积分得y=∫(4x^3-1)dx。
公式：y = ∫(4x^3 - 1) dx
提示：不定积分要加常数C。
步骤 3/5
目标：计算不定积分
∫4x^3 dx = x^4，∫1 dx = x，所以y = x^4 - x + C。
公式：y = x^4 - x + C
提示：幂函数积分公式：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
步骤 4/5
目标：利用已知点确定常数C
曲线经过点P(1,3)，代入x=1,y=3得3=1^4-1+C，解得C=3。
公式：3 = 1 - 1 + C ⇒ C = 3
提示：代入时注意计算准确。
步骤 5/5
目标：写出曲线方程
将C=3代入得曲线方程为y=x^4-x+3。
公式：y = x^4 - x + 3
提示：最终结果要化简。
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