人邮高数 第3章 第3-1-4题
📝 题目
4．一曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ ，且 $x=1$ 时，$y=0$ ，求曲线 $y=f(x)$的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}. $$ 因此，函数 $y = f(x)$ 可通过不定积分求得： $$ y = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \right) dx. $$
分别积分： $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_1, \quad \int \frac{1}{x^{2}} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C_2. $$ 故： $$ y = \ln|x| - \left( -x^{-1} \right) + C = \ln|x| + \frac{1}{x} + C, $$ 其中 $C$ 为积分常数。
利用已知条件：当 $x = 1$ 时，$y = 0$，代入得： $$ 0 = \ln 1 + \frac{1}{1} + C = 0 + 1 + C, $$ 所以： $$ C = -1. $$
因此所求曲线方程为： $$ \boxed{y = \ln|x| + \frac{1}{x} - 1}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立微分方程
根据题意，曲线上任意一点 (x, y) 处的切线斜率为 dy/dx = 1/x - 1/x^2。
公式：dy/dx = 1/x - 1/x^2
提示：注意切线斜率就是导数。
步骤 2/4
目标：积分求原函数
对导数进行不定积分，得到 y = ∫(1/x - 1/x^2) dx = ln|x| + 1/x + C。
公式：∫(1/x - 1/x^2) dx = ln|x| + 1/x + C
提示：积分时注意 1/x^2 的积分是 -1/x，加上负号后变为 +1/x。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数
代入 x=1, y=0，得 0 = ln1 + 1/1 + C = 0 + 1 + C，解得 C = -1。
公式：0 = ln1 + 1 + C ⇒ C = -1
提示：ln1 = 0。
步骤 4/4
目标：写出曲线方程
将 C = -1 代入原函数，得曲线方程为 y = ln|x| + 1/x - 1。
公式：y = ln|x| + 1/x - 1
提示：注意绝对值符号，因为 ln 定义域为正数。
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