人邮高数 第3章 第3-2-5题

[AI解答]

[AI解答] 已知 $ f(x) $ 的一个原函数是 $ e^{-x^2} $，即 $$ \int f(x) \, dx = e^{-x^2} + C, $$ 所以 $$ f(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{-x^2} \right) = -2x e^{-x^2}. $$

我们需要计算 $$ \int x f'(x) \, dx. $$

先求 $ f'(x) $： $$ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( -2x e^{-x^2} \right) = -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2}. $$

于是 $$ x f'(x) = x\left( -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} \right) = -2x e^{-x^2} + 4x^3 e^{-x^2}. $$

因此 $$ \int x f'(x) \, dx = \int \left( -2x e^{-x^2} + 4x^3 e^{-x^2} \right) dx. $$

分别积分： 第一项： $$ \int -2x e^{-x^2} dx = e^{-x^2} + C_1, $$ 因为 $ \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = -2x e^{-x^2} $。

第二项： 令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $，于是 $$ \int 4x^3 e^{-x^2} dx = \int 2x^2 \cdot 2x e^{-x^2} dx = \int 2u e^{-u} du. $$ 用分部积分： $$ \int 2u e^{-u} du = -2u e^{-u} - 2 e^{-u} + C_2 = -2x^2 e^{-x^2} - 2 e^{-x^2} + C_2. $$

合并两项： $$ \int x f'(x) dx = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} - 2 e^{-x^2} + C = -2x^2 e^{-x^2} - e^{-x^2} + C. $$

因此结果为 $$ \boxed{-e^{-x^2}(2x^2 + 1) + C}. $$

难度：★★☆☆☆