人邮高数 第3章 第3-4-3题
📝 题目
3．利用定积分的几何意义，求下列各式的值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x ;$
💡 答案解析
[AI解答]
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(1) 由定积分的几何意义，被积函数 $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ 表示圆心在原点、半径为 $a$ 的上半圆曲线。积分区间为 $[0, a]$，即取右半部分的上半圆。该部分图形是半径为 $a$ 的圆在第一象限的四分之一圆面积。因此： $$ \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \pi a^{2}. $$
(2) 被积函数 $y = \sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是奇函数，且积分区间关于原点对称。由定积分的几何意义，曲线在 $x$ 轴上方和下方的面积大小相等、符号相反，因此积分值为零： $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d}x = 0. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用定积分的几何意义求解第(1)小题
被积函数 y = √(a² - x²) 表示圆心在原点、半径为 a 的上半圆。积分区间 [0, a] 对应第一象限的四分之一圆。该图形的面积为圆面积的四分之一，即 (1/4)πa²。
公式：∫₀ᵃ √(a² - x²) dx = (1/4)πa²
提示：注意几何意义：定积分表示曲线与x轴围成的面积，上半圆在x轴上方，面积取正。
步骤 2/2
目标：利用定积分的几何意义求解第(2)小题
被积函数 y = sin x 在区间 [-π/2, π/2] 上是奇函数，且积分区间关于原点对称。由定积分的几何意义，曲线在x轴上方和下方的面积大小相等、符号相反，因此积分值为0。
公式：∫_{-π/2}^{π/2} sin x dx = 0
提示：奇函数在对称区间上的积分为零。
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