人邮高数 第3章 第3-4-4题
📝 题目
4．试用定积分表示如图3－10所示的平面图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
根据图3-10所示，该平面图形是由两条曲线围成的封闭区域。通常这类问题中，图形是由上方曲线 $y = f(x)$ 与下方曲线 $y = g(x)$ 以及左右边界 $x = a$、$x = b$ 所围成。 由于题目未给出具体函数，但根据常见高等数学习题，图3-10一般表示由曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = x$ 所围成的图形（或类似情形）。此处我们以此为例，给出定积分表示面积的通用方法。
设图形在 $x$ 轴方向上的范围为 $[a, b]$，上边界函数为 $y_{\text{上}}(x)$，下边界函数为 $y_{\text{下}}(x)$，则平面图形的面积 $S$ 为：
$$ S = \displaystyle{\int_{a}^{b} \left[ y_{\text{上}}(x) - y_{\text{下}}(x) \right] \, \mathrm{d}x} $$
若图形更适合用 $y$ 作为变量，则表示为：
$$ S = \displaystyle{\int_{c}^{d} \left[ x_{\text{右}}(y) - x_{\text{左}}(y) \right] \, \mathrm{d}y} $$
对于本题，根据图3-10，假设曲线交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，则面积可表示为：
$$ S = \displaystyle{\int_{0}^{1} \left( x - x^2 \right) \, \mathrm{d}x} $$
这就是用定积分表示该平面图形面积的表达式。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定图形边界和积分变量
观察图3-10，该平面图形由两条曲线围成。通常，上方曲线为y=f(x)，下方曲线为y=g(x)，左右边界为x=a和x=b。若图形更适合用y作为变量，则表示为右边界x=x_right(y)和左边界x=x_left(y)。
提示：注意选择积分变量以使计算简便，通常选择与边界曲线交点对应的变量。
步骤 2/3
目标：写出面积定积分表达式
若以x为积分变量，面积S = ∫_a^b [y_上(x) - y_下(x)] dx。若以y为积分变量，S = ∫_c^d [x_右(y) - x_左(y)] dy。
公式：S = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx 或 S = ∫_c^d [x_right(y) - x_left(y)] dy
提示：确保被积函数非负，即上减下或右减左。
步骤 3/3
目标：代入具体函数（示例）
假设图3-10中曲线为y=x^2和y=x，交点为(0,0)和(1,1)。则面积S = ∫_0^1 (x - x^2) dx。
公式：S = ∫_0^1 (x - x^2) dx
提示：实际题目中需根据图形确定具体函数和积分限。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。