人邮高数 第3章 第3-4-*2题

[AI解答]

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我们考虑和式极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left[ \sin\frac{\pi}{n} + \sin\frac{2\pi}{n} + \cdots + \sin\frac{(n-1)\pi}{n} \right] $$

首先，将和式写成求和符号形式： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} $$

根据定积分的定义，对于区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$，有： $$ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) $$

观察本题，取 $a = 0$，$b = \pi$，则 $\frac{b-a}{n} = \frac{\pi}{n}$。但我们的和式前面是 $\frac{1}{n}$，而不是 $\frac{\pi}{n}$，因此需要调整。

将原极限改写为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{1}{\pi} \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} $$

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}$ 正是函数 $f(x) = \sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的定积分（注意，当 $n$ 很大时，$k$ 从1到 $n-1$ 与从1到 $n$ 的差别可忽略，因为端点处函数值为0）。因此： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \int_0^\pi \sin x \, dx $$

于是原极限为： $$ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx $$

所以，原和式极限可表示为定积分： $$ \boxed{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx} $$

难度：★★☆☆☆