人邮高数 第3章 第3-5-10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x\lt \frac{\pi}{2}, \\ x, & \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目要求计算分段函数 $ f(x) $ 在区间 $[0, \pi]$ 上的定积分。分段点为 $ x = \frac{\pi}{2} $，因此将积分区间分为两段分别积分再相加。
首先写出分段函数： $$ f(x) = \begin{cases} \sin x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2}, \\ x, & \frac{\pi}{2} \le x \le \pi. \end{cases} $$
则所求积分为： $$ \displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d}x + \displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \, \mathrm{d}x. $$
分别计算： $$ \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d}x = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1. $$
$$ \displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{\pi^{2}}{2} - \frac{(\frac{\pi}{2})^{2}}{2} = \frac{\pi^{2}}{2} - \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{4\pi^{2} - \pi^{2}}{8} = \frac{3\pi^{2}}{8}. $$
相加得： $$ \displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x = 1 + \frac{3\pi^{2}}{8}. $$
因此，最终结果为： $$ \boxed{1 + \frac{3\pi^{2}}{8}}. $$
难度：★☆☆☆☆