人邮高数 第3章 第3-7-5题
📝 题目
5．一物体，其底面是半径为 $r$ 的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑一个立体，其底面是半径为 $ r $ 的圆。用垂直于底圆某一直径的平面去截这个物体，所得截面都是正方形。这意味着，如果我们把底面放在 $ xy $-平面上，圆心在原点，取垂直于 $ x $ 轴的平面去截，那么截得的截面是一个正方形，其边长等于该截面处圆截线在 $ y $ 方向上的长度（即圆在 $ x $ 处的纵坐标的两倍）。
**步骤1：建立坐标系** 设底面圆方程为 $$ x^2 + y^2 = r^2 $$ 在 $ x $ 处（$ -r \le x \le r $），圆的纵坐标范围为 $$ y = \pm \sqrt{r^2 - x^2} $$ 因此，在 $ x $ 处圆截线的长度为 $$ 2\sqrt{r^2 - x^2} $$ 根据题意，垂直于 $ x $ 轴的截面是正方形，所以正方形的边长等于这个长度，即 $$ \text{边长} = 2\sqrt{r^2 - x^2} $$ 那么该截面的面积 $ A(x) $ 为 $$ A(x) = \left(2\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 = 4(r^2 - x^2) $$
**步骤2：用积分求体积** 沿 $ x $ 轴从 $-r$ 到 $ r $ 积分，得到体积 $$ V = \int_{-r}^{r} A(x) \, dx = \int_{-r}^{r} 4(r^2 - x^2) \, dx $$ 由于被积函数是偶函数，可以写成 $$ V = 2 \int_{0}^{r} 4(r^2 - x^2) \, dx = 8 \int_{0}^{r} (r^2 - x^2) \, dx $$
**步骤3：计算积分** $$ \int_{0}^{r} (r^2 - x^2) \, dx = \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{r} = r^3 - \frac{r^3}{3} = \frac{2r^3}{3} $$ 因此 $$ V = 8 \cdot \frac{2r^3}{3} = \frac{16}{3} r^3 $$
**最终答案** $$ \boxed{\dfrac{16}{3} r^3} $$
难度：★★☆☆☆ （属于截面法求体积的基本题型，计算简单，只需理解几何关系与定积分即可。）