人邮高数 第1章 第1-3-2题

[AI解答]

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水平渐近线由函数在 $x \to +\infty$ 或 $x \to -\infty$ 时的极限决定。若极限存在且为常数 $L$，则 $y = L$ 为水平渐近线。

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**(1)** $\displaystyle y = \frac{3x+1}{x}$

计算极限： $$ \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{3x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3} $$ 因此有水平渐近线 $y = 3$。

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**(2)** $\displaystyle y = \frac{1}{x^2+1}$

计算极限： $$ \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2+1} = 0} $$ 因此有水平渐近线 $y = 0$。

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**(3)** $\displaystyle y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$

先化简（注意 $x \neq \pm 1$）： $$ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1},\quad x \neq 1 $$ 计算极限： $$ \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1} $$ 因此有水平渐近线 $y = 1$。

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**(4)** $\displaystyle y = \frac{x^2 + x - 1}{x+1}$

计算极限： $$ \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot (1 + 0 - 0)}{1 + 0} = \infty} $$ 极限不存在（趋于无穷），因此没有水平渐近线。

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**最终答案：**

(1) 有，$y=3$ (2) 有，$y=0$ (3) 有，$y=1$ (4) 无