人邮高数 第4章 第4-1-3题
📝 题目
3．验证函数 $x=C_{1} \cos k t+C_{2} \sin k t$ 是微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+k^{2} x=0$ 的解．并求满足初始条件 $\displaystyle \left.x\right|_{t=0} =A,\left.\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=0$ 的特解．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，验证函数 $$ x = C_{1} \cos k t + C_{2} \sin k t $$ 是微分方程 $$ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}} + k^{2} x = 0 $$ 的解。
计算一阶导数： $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = -C_{1} k \sin k t + C_{2} k \cos k t $$
再计算二阶导数： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}} = -C_{1} k^{2} \cos k t - C_{2} k^{2} \sin k t $$
代入原方程左边： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}} + k^{2} x = \left(-C_{1} k^{2} \cos k t - C_{2} k^{2} \sin k t\right) + k^{2} \left(C_{1} \cos k t + C_{2} \sin k t\right) $$ $$ = (-C_{1} k^{2} + C_{1} k^{2}) \cos k t + (-C_{2} k^{2} + C_{2} k^{2}) \sin k t = 0 $$
因此，该函数确实是微分方程的解。
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接下来，利用初始条件确定常数 $C_{1}, C_{2}$。
已知： $$ \left. x \right|_{t=0} = A $$ 代入得： $$ C_{1} \cos 0 + C_{2} \sin 0 = C_{1} = A $$ 所以 $C_{1} = A$。
又已知： $$ \left. \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0} = 0 $$ 代入一阶导数表达式： $$ \left. \left( -C_{1} k \sin k t + C_{2} k \cos k t \right) \right|_{t=0} = C_{2} k = 0 $$ 因为 $k \neq 0$（否则方程无意义），所以 $C_{2} = 0$。
因此满足初始条件的特解为： $$ x = A \cos k t $$
难度：★☆☆☆☆