人邮高数 第4章 第4-1-4题

教材习题

📝 题目

4．确定下列函数中 $C_{1}, C_{2}$ 的值，使得函数满足所给定的条件． （1）$y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ； （2）$y=\left(C_{1}+x C_{2}\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 已知 $$ y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x $$ 先求导： $$ y' = -C_{1} \sin x + C_{2} \cos x $$ 代入条件： 当 $x=0$ 时， $$ y(0) = C_{1} \cos 0 + C_{2} \sin 0 = C_{1} = 1 $$ $$ y'(0) = -C_{1} \sin 0 + C_{2} \cos 0 = C_{2} = 3 $$ 因此解得 $$ C_{1} = 1,\quad C_{2} = 3 $$

**（2）** 已知 $$ y = (C_{1} + x C_{2}) \mathrm{e}^{2x} $$ 先求导（使用乘积法则）： $$ y' = C_{2} \mathrm{e}^{2x} + (C_{1} + x C_{2}) \cdot 2 \mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{2x} \bigl[ C_{2} + 2C_{1} + 2x C_{2} \bigr] $$ 代入条件： 当 $x=0$ 时， $$ y(0) = (C_{1} + 0) \cdot 1 = C_{1} = 0 $$ $$ y'(0) = 1 \cdot [C_{2} + 2C_{1} + 0] = C_{2} + 2C_{1} = 1 $$ 由 $C_{1}=0$ 得 $C_{2}=1$。 因此 $$ C_{1} = 0,\quad C_{2} = 1 $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求函数 y 的导数
对于 (1)，y = C1 cos x + C2 sin x，求导得 y' = -C1 sin x + C2 cos x。对于 (2)，y = (C1 + x C2) e^{2x}，使用乘积法则求导得 y' = C2 e^{2x} + (C1 + x C2) * 2 e^{2x} = e^{2x} (C2 + 2C1 + 2x C2)。
公式：导数公式：d/dx cos x = -sin x，d/dx sin x = cos x；乘积法则：(uv)' = u'v + uv'
提示：注意复合函数求导时不要漏掉内层导数。
步骤 2/2
目标：代入初始条件求解 C1 和 C2
对于 (1)，代入 x=0：y(0)=C1=1，y'(0)=C2=3，所以 C1=1，C2=3。对于 (2)，代入 x=0：y(0)=C1=0，y'(0)=C2+2C1=1，由 C1=0 得 C2=1。
公式：初始条件：y(0)=给定值，y'(0)=给定值
提示：代入时注意三角函数值：cos0=1，sin0=0；指数函数 e^0=1。

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