人邮高数 第4章 第4-1-6题

[AI解答]

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**（1）** 曲线在点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $$ \frac{dy}{dx} = x^2 $$ 所以所求微分方程为 $$ \boxed{\frac{dy}{dx} = x^2} $$

**（2）** 曲线在点 $P(x, y)$ 处的法线斜率为 $-\frac{1}{y'}$（设 $y' = \frac{dy}{dx}$），法线方程为 $$ Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x) $$ 令 $Y = 0$，得法线与 $x$ 轴交点 $Q$ 的横坐标为 $$ X_Q = x + y y' $$ 线段 $PQ$ 被 $y$ 轴平分，即 $P$ 与 $Q$ 的中点在 $y$ 轴上，故 $$ \frac{x + X_Q}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x + (x + y y') = 0 $$ 即 $$ 2x + y y' = 0 $$ 所以微分方程为 $$ \boxed{2x + y\frac{dy}{dx} = 0} $$

**（3）** 曲线在点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $y'$，切线方程为 $$ Y - y = y'(X - x) $$ 令 $Y = 0$，得与 $x$ 轴交点 $P$ 的横坐标 $$ X_P = x - \frac{y}{y'} $$ 令 $X = 0$，得与 $y$ 轴交点 $Q$ 的纵坐标 $$ Y_Q = y - x y' $$ 线段 $PQ$ 被点 $M$ 平分，即 $M$ 是 $P$ 与 $Q$ 的中点，故 $$ x = \frac{X_P + 0}{2}, \quad y = \frac{0 + Y_Q}{2} $$ 由第一个等式： $$ 2x = x - \frac{y}{y'} \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{y}{y'} \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y}{x} $$ 由第二个等式： $$ 2y = y - x y' \quad\Rightarrow\quad y = -x y' $$ 两者等价，故微分方程为 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} $$ 又曲线通过点 $(3,1)$，此为初始条件。

所以微分方程为 $$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}} $$

难度：★★☆☆☆