人邮高数 第4章 第4-1-7题
📝 题目
7．已知曲线过点 $(1,2)$ ，且在该曲线上任意点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $3 x^{2}$ ，求此曲线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线上任意点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $3x^2$，即 $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2. $$ 两边对 $x$ 积分： $$ y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C, $$ 其中 $C$ 为积分常数。
曲线过点 $(1, 2)$，代入得 $$ 2 = 1^3 + C \quad \Rightarrow \quad C = 1. $$ 因此所求曲线方程为 $$ \boxed{y = x^3 + 1}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立微分方程
根据导数的几何意义，曲线上任意点 (x, y) 处的切线斜率为 dy/dx，由题意得 dy/dx = 3x^2。
公式：dy/dx = 3x^2
提示：注意切线斜率与导数的关系。
步骤 2/4
目标：积分求解曲线方程
对 dy/dx = 3x^2 两边关于 x 积分，得到 y = ∫3x^2 dx = x^3 + C，其中 C 为积分常数。
公式：y = ∫3x^2 dx = x^3 + C
提示：积分时不要忘记常数 C。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数
曲线过点 (1,2)，代入 y = x^3 + C 得 2 = 1^3 + C，解得 C = 1。
公式：2 = 1 + C ⇒ C = 1
提示：代入点坐标时注意 x 和 y 的对应。
步骤 4/4
目标：写出曲线方程
将 C = 1 代入 y = x^3 + C，得曲线方程为 y = x^3 + 1。
公式：y = x^3 + 1
提示：最终结果应化简。
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