人邮高数 第4章 第4-2-3题
📝 题目
3．求下列一阶线性微分方程的通解： （1）$\displaystyle y^{\prime}-\frac{1}{x} y=\frac{1}{1+x}$ ； （2）$y^{\prime}=-2 x y+2 x e^{-x^{2}}$ ； （3）$y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}$ ； （4）$y^{\prime}+2 x y=4 x$ ； （5）$x y^{\prime}=x-y$ ； （6）$\left(x^{2}+1\right) y^{\prime}+2 x y=4 x^{2}$ ； （7）$x y^{\prime}+(1-x) y=\mathrm{e}^{2 x}$ ； （8）$\left(y^{2}-6 x\right) y^{\prime}+2 y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细求解过程，均使用一阶线性微分方程的标准解法：
**标准形式**： $$ y' + P(x)y = Q(x) $$ 通解公式： $$ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) $$
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### （1） $$ y' - \frac{1}{x} y = \frac{1}{1+x} $$ 这里 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{1}{1+x}$。 计算积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x} $$ 通解： $$ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int Q(x) \mu(x) \, dx + C \right) = x \left( \int \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{x} \, dx + C \right) $$ 计算积分： $$ \int \frac{1}{x(1+x)} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) dx = \ln|x| - \ln|1+x| + C $$ 因此： $$ y = x \left( \ln\left| \frac{x}{1+x} \right| + C \right) $$
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### （2） $$ y' = -2xy + 2x e^{-x^2} $$ 改写为标准形式： $$ y' + 2xy = 2x e^{-x^2} $$ $P(x) = 2x$，$Q(x) = 2x e^{-x^2}$。 积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} $$ 通解： $$ y = e^{-x^2} \left( \int 2x e^{-x^2} \cdot e^{x^2} \, dx + C \right) = e^{-x^2} \left( \int 2x \, dx + C \right) = e^{-x^2} (x^2 + C) $$
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### （3） $$ y' + y = e^{-x} $$ $P(x) = 1$，$Q(x) = e^{-x}$。 积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int 1 \, dx} = e^{x} $$ 通解： $$ y = e^{-x} \left( \int e^{-x} \cdot e^{x} \, dx + C \right) = e^{-x} \left( \int 1 \, dx + C \right) = e^{-x} (x + C) $$
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### （4） $$ y' + 2xy = 4x $$ $P(x) = 2x$，$Q(x) = 4x$。 积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} $$ 通解： $$ y = e^{-x^2} \left( \int 4x e^{x^2} \, dx + C \right) $$ 令 $u = x^2$，$du = 2x dx$，则 $$ \int 4x e^{x^2} dx = 2 \int e^{u} du = 2 e^{x^2} $$ 所以： $$ y = e^{-x^2} (2 e^{x^2} + C) = 2 + C e^{-x^2} $$
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### （5） $$ x y' = x - y $$ 改写： $$ y' + \frac{1}{x} y = 1 $$ $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = 1$。 积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x $$ 通解： $$ y = \frac{1}{x} \left( \int 1 \cdot x \, dx + C \right) = \frac{1}{x} \left( \frac{x^2}{2} + C \right) = \frac{x}{2} + \frac{C}{x} $$
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### （6） $$ (x^2+1) y' + 2xy = 4x^2 $$ 除以 $x^2+1$： $$ y' + \frac{2x}{x^2+1} y = \frac{4x^2}{x^2+1} $$ $P(x) = \frac{2x}{x^2+1}$，$Q(x) = \frac{4x^2}{x^2+1}$。 积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int \frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1 $$ 通解： $$ y = \frac{1}{x^2+1} \left( \int \frac{4x^2}{x^2+1} \cdot (x^2+1) \, dx + C \right) = \frac{1}{x^2+1} \left( \int 4x^2 \, dx + C \right) = \frac{1}{x^2+1} \left( \frac{4}{3} x^3 + C \right) $$
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### （7） $$ x y' + (1-x) y = e^{2x} $$ 除以 $x$： $$ y' + \frac{1-x}{x} y = \frac{e^{2x}}{x} $$ $P(x) = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1$，$Q(x) = \frac{e^{2x}}{x}$。 积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx} = e^{\ln|x| - x} = x e^{-x} $$ 通解： $$ y = \frac{1}{x e^{-x}} \left( \int \frac{e^{2x}}{x} \cdot x e^{-x} \, dx + C \right) = \frac{e^{x}}{x} \left( \int e^{x} \, dx + C \right) = \frac{e^{x}}{x} ( e^{x} + C ) = \frac{e^{2x}}{x} + \frac{C e^{x}}{x} $$
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### （8） $$ (y^2 - 6x) y' + 2y = 0 $$ 将 $y' = \frac{dy}{dx}$，改写为： $$ (y^2 - 6x) \frac{dy}{dx} + 2y = 0 $$ 即 $$ \frac{dx}{dy} = \frac{6x - y^2}{2y} $$ 写成关于 $x$ 的线性方程： $$ \frac{dx}{dy} - \frac{3}{y} x = -\frac{y}{2} $$ 这里 $P(y) = -\frac{3}{y}$，$Q(y) = -\frac{y}{2}$。 积分因子： $$ \mu(y) = e^{\int -\frac{3}{y} dy} = e^{-3\ln|y|} = y^{-3} $$ 通解： $$ x = \frac{1}{y^{-3}} \left( \int -\frac{y}{2} \cdot y^{-3} \, dy + C \right) = y^3 \left( -\frac{1}{2} \int y^{-2} \, dy + C \right) = y^3 \left( -\frac{1}{2} \cdot (-y^{-1}) + C \right) = y^3 \left( \frac{1}{2y} + C \right) = \frac{y^2}{2} + C y^3 $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ 均为标准一阶线性微分方程，直接套用公式即可，计算量较小，但需注意变形与积分技巧。