人邮高数 第4章 第4-3-3题
📝 题目
3．求微分方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}+\frac{1}{y^{2}}=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1\end{array}\right.$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解微分方程初值问题： $$ \begin{cases} 2 y'' + \frac{1}{y^2} = 0, \$$5pt] y(0) = 1, \quad y'(0) = 1. \end{cases} $$
**第一步：降阶处理**
方程中不显含自变量 $x$，因此可令 $p = y'$，则 $$ y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}. $$ 代入原方程： $$ 2 p \frac{dp}{dy} + \frac{1}{y^2} = 0. $$
**第二步：分离变量并积分**
分离变量得： $$ 2p \, dp = -\frac{1}{y^2} \, dy. $$ 两边积分： $$ \int 2p \, dp = -\int y^{-2} \, dy, $$ 即 $$ p^2 = \frac{1}{y} + C_1. $$
**第三步：利用初始条件确定常数**
由 $x=0$ 时，$y=1$，$y'=p=1$，代入得： $$ 1^2 = \frac{1}{1} + C_1 \quad\Rightarrow\quad 1 = 1 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 0. $$ 因此有 $$ p^2 = \frac{1}{y} \quad\Rightarrow\quad p = \frac{1}{\sqrt{y}} \quad (\text{取正号，因为初始 } p=1>0). $$
**第四步：再次分离变量求 $y(x)$**
由 $p = \frac{dy}{dx} = y^{-1/2}$，得 $$ \sqrt{y} \, dy = dx. $$ 积分： $$ \int y^{1/2} \, dy = \int dx, $$ 即 $$ \frac{2}{3} y^{3/2} = x + C_2. $$
**第五步：利用初始条件确定 $C_2$**
当 $x=0$，$y=1$： $$ \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} = 0 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{2}{3}. $$ 于是 $$ \frac{2}{3} y^{3/2} = x + \frac{2}{3}. $$
**第六步：写出显式解**
两边乘以 $\frac{3}{2}$： $$ y^{3/2} = \frac{3}{2}x + 1. $$ 因此 $$ y = \left( \frac{3}{2}x + 1 \right)^{2/3}. $$
这就是满足初值条件的特解，由于方程是非线性的，通解由这个特解给出（在给定初值下唯一确定）。
**最终答案：** $$ \boxed{y = \left( \frac{3}{2}x + 1 \right)^{\frac{2}{3}}} $$
难度：★★☆☆☆