人邮高数 第5章 第5-1-10题

教材习题

📝 题目

10．设向量 $\boldsymbol{a}$ 与各坐标轴成相等的锐角，$|\boldsymbol{a}|=2 \sqrt{3}$ ，求向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式．

💡 答案解析

[AI解答]

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设向量 $\boldsymbol{a}$ 与三个坐标轴 $x, y, z$ 正方向的夹角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$。 由题意，这些夹角相等且均为锐角，故 $$ \alpha = \beta = \gamma = \theta, \quad 0 < \theta < \frac{\pi}{2}. $$

方向余弦满足关系： $$ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1. $$ 代入 $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ 得： $$ 3\cos^2\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\theta = \frac{1}{3}. $$ 由于 $\theta$ 是锐角，$\cos\theta > 0$，所以 $$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}. $$

因此方向余弦为： $$ (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right). $$

已知向量 $\boldsymbol{a}$ 的模为 $|\boldsymbol{a}| = 2\sqrt{3}$，则其坐标表达式为： $$ \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}| (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = 2\sqrt{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = (2, 2, 2). $$

因此，向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式为： $$ \boxed{(2, 2, 2)} $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：设向量与坐标轴夹角
设向量 a 与 x, y, z 轴正方向的夹角分别为 α, β, γ，由题意知 α=β=γ=θ，且 θ 为锐角。
提示：注意锐角条件，cosθ>0
步骤 2/4
目标：利用方向余弦平方和等于1求cosθ
方向余弦满足 cos²α+cos²β+cos²γ=1，代入 α=β=γ=θ 得 3cos²θ=1，所以 cos²θ=1/3，由于θ为锐角，cosθ=1/√3。
公式：cos²α+cos²β+cos²γ=1
提示：方向余弦平方和为1是重要性质
步骤 3/4
目标：写出方向余弦
方向余弦为 (cosα, cosβ, cosγ) = (1/√3, 1/√3, 1/√3)。
步骤 4/4
目标：由模长和方向余弦求坐标
向量 a = |a| (cosα, cosβ, cosγ) = 2√3 × (1/√3, 1/√3, 1/√3) = (2, 2, 2)。
公式：a = |a| (cosα, cosβ, cosγ)
提示：坐标等于模乘以方向余弦

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