人邮高数 第5章 第5-1-14题
📝 题目
14．已知点 $A(1,-3,4), B(-2,1,-1), C(-3,-1,1)$ ，求： （1）$\angle A B C$ ；（2） $\overrightarrow{A B}$ 在 $\overrightarrow{A C}$ 上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **（1）求 $\angle ABC$**
首先，$\angle ABC$ 是向量 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角。 计算向量： $$ \overrightarrow{BA} = A - B = (1 - (-2),\, -3 - 1,\, 4 - (-1)) = (3,\,-4,\,5) $$ $$ \overrightarrow{BC} = C - B = (-3 - (-2),\, -1 - 1,\, 1 - (-1)) = (-1,\,-2,\,2) $$
点积： $$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot (-1) + (-4) \cdot (-2) + 5 \cdot 2 = -3 + 8 + 10 = 15 $$
模长： $$ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$ $$ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$
夹角余弦： $$ \cos \angle ABC = \frac{15}{5\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{15}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ 因此： $$ \angle ABC = \frac{\pi}{4} $$
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**（2）求 $\overrightarrow{AB}$ 在 $\overrightarrow{AC}$ 上的投影**
先计算向量： $$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1,\, 1 - (-3),\, -1 - 4) = (-3,\,4,\,-5) $$ $$ \overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - 1,\, -1 - (-3),\, 1 - 4) = (-4,\,2,\,-3) $$
投影公式： $$ \text{Proj}_{\overrightarrow{AC}} \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} $$
点积： $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(-4) + 4 \cdot 2 + (-5)(-3) = 12 + 8 + 15 = 35 $$
模长： $$ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29} $$
因此投影长度为： $$ \frac{35}{\sqrt{29}} $$
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**最终答案** （1）$\displaystyle \angle ABC = \frac{\pi}{4}$ （2）$\displaystyle \frac{35}{\sqrt{29}}$
难度：★☆☆☆☆