人邮高数 第5章 第5-1-15题

[AI解答]

[AI解答] 已知向量 $$ \boldsymbol{a} = (2, 3, 1), \quad \boldsymbol{b} = (1, -2, 1) $$ 我们计算叉积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$。

叉积公式为： 若 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则 $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$

代入数值： $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} $$ 按第一行展开： $$ = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} $$ 计算各行列式： $$ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = 3 + 2 = 5 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2 - 1 = 1 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -4 - 3 = -7 $$ 因此 $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = 5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + (-7)\mathbf{k} = (5, -1, -7) $$

由叉积性质 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = -(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})$，得 $$ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = (-5, 1, 7) $$

最终结果： $$ \boxed{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (5, -1, -7),\quad \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} = (-5, 1, 7)} $$

难度：★☆☆☆☆