人邮高数 第5章 第5-1-25题

教材习题

📝 题目

25．试用向量方法证明三角形的余弦定理。

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] **证明**：设三角形 $ \triangle ABC $ 的三边分别为 $ \vec{a} = \overrightarrow{BC} $，$ \vec{b} = \overrightarrow{CA} $，$ \vec{c} = \overrightarrow{AB} $，且满足 $$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}. $$ 记角 $ A $ 为向量 $ \vec{c} $ 与 $ \vec{b} $ 的夹角，即 $ \angle A = \angle(\vec{c}, \vec{b}) $。

由向量关系可得 $$ \vec{a} = -(\vec{b} + \vec{c}). $$ 对两边取模的平方： $$ |\vec{a}|^2 = |\vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{c}. $$ 根据向量点积的定义： $$ \vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos(\pi - A) = -|\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos A, $$ 因为向量 $ \vec{b} $ 与 $ \vec{c} $ 的夹角为 $ \pi - A $（注意方向）。

代入上式得 $$ |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos A. $$ 记 $ a = |\vec{a}| $，$ b = |\vec{b}| $，$ c = |\vec{c}| $，即得余弦定理： $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A. $$ 同理可证其他角的情形。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设定向量表示
设三角形ABC的三边对应的向量为：a = BC, b = CA, c = AB，满足 a + b + c = 0。角A为向量c与b的夹角。
公式：a + b + c = 0
提示：注意向量的方向：a从B到C，b从C到A，c从A到B。
步骤 2/5
目标：用b和c表示a
由a + b + c = 0得a = -(b + c)。
公式：a = -(b + c)
步骤 3/5
目标：计算a模长的平方
对a = -(b + c)两边取模的平方：|a|^2 = |b + c|^2 = |b|^2 + |c|^2 + 2b·c。
公式：|a|^2 = |b|^2 + |c|^2 + 2b·c
提示：利用向量模平方公式：|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2u·v。
步骤 4/5
目标：计算向量点积b·c
向量b与c的夹角为π - A（因为b和c的起点分别是C和A，夹角为外角），所以b·c = |b||c|cos(π - A) = -|b||c|cos A。
公式：b·c = -|b||c|cos A
提示：注意角A是向量c与b的夹角，但根据方向实际夹角为π - A。
步骤 5/5
目标：代入得到余弦定理
将b·c代入|a|^2表达式：|a|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2|b||c|cos A。记a=|a|, b=|b|, c=|c|，即得a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A。
公式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A
提示：同理可证其他角的情形。

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