人邮高数 第5章 第5-1-5题
📝 题目
5．设点 $P$ 在 $y$ 轴上，它到点 $P_{1}(\sqrt{2}, 0,3)$ 的距离为到点 $P_{2}(1,0,-1)$ 的距离的两倍，求点 $P$ 的坐标。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设点 $P$ 在 $y$ 轴上，因此其坐标为 $P(0, y, 0)$。 根据题意，点 $P$ 到点 $P_1(\sqrt{2}, 0, 3)$ 的距离是到点 $P_2(1, 0, -1)$ 的距离的两倍，即：
$$ |PP_1| = 2\,|PP_2| $$
分别计算距离：
$$ |PP_1| = \sqrt{(0 - \sqrt{2})^2 + (y - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{2 + y^2 + 9} = \sqrt{y^2 + 11} $$
$$ |PP_2| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (y - 0)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{1 + y^2 + 1} = \sqrt{y^2 + 2} $$
代入条件：
$$ \sqrt{y^2 + 11} = 2 \sqrt{y^2 + 2} $$
两边平方：
$$ y^2 + 11 = 4(y^2 + 2) $$
展开：
$$ y^2 + 11 = 4y^2 + 8 $$
移项：
$$ 11 - 8 = 4y^2 - y^2 $$ $$ 3 = 3y^2 $$
解得：
$$ y^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad y = \pm 1 $$
因此点 $P$ 的坐标为 $(0, 1, 0)$ 或 $(0, -1, 0)$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设点P坐标
由于点P在y轴上，设其坐标为P(0, y, 0)。
提示：在坐标轴上点的坐标特点：y轴上x=0, z=0。
步骤 2/4
目标：根据距离关系列方程
由题意，|PP1| = 2|PP2|，代入距离公式。
公式：|PP1| = sqrt((0-√2)^2 + (y-0)^2 + (0-3)^2) = sqrt(y^2+11); |PP2| = sqrt((0-1)^2 + (y-0)^2 + (0+1)^2) = sqrt(y^2+2)
提示：注意两点间距离公式：sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
步骤 3/4
目标：解方程求y
将距离表达式代入条件：sqrt(y^2+11) = 2 sqrt(y^2+2)。两边平方得：y^2+11 = 4(y^2+2)，展开得：y^2+11 = 4y^2+8，移项得：3 = 3y^2，解得y^2=1，所以y=±1。
公式：y^2+11 = 4(y^2+2) → 3y^2=3 → y^2=1
提示：平方后注意检查增根，但本题无增根。
步骤 4/4
目标：写出点P坐标
因此点P的坐标为(0,1,0)或(0,-1,0)。
提示：答案有两个，不要遗漏。
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