人邮高数 第1章 第1-4-6题

[AI解答]

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**证明函数极限的唯一性（当 $x \to +\infty$ 时）**

**定理：** 若极限 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x)$ 存在，则此极限唯一。

**证明：** 采用反证法。

假设当 $x \to +\infty$ 时，函数 $f(x)$ 有两个不同的极限，即 $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = B, $$ 且 $A \neq B$。

不妨设 $A < B$。取 $\displaystyle \varepsilon = \frac{B - A}{2} > 0$。

根据极限的定义： 1. 由 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x) = A$，存在 $X_1 > 0$，使得当 $x > X_1$ 时，有 $$ |f(x) - A| < \varepsilon. $$ 即 $$ A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon. $$

2. 由 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x) = B$，存在 $X_2 > 0$，使得当 $x > X_2$ 时，有 $$ |f(x) - B| < \varepsilon. $$ 即 $$ B - \varepsilon < f(x) < B + \varepsilon. $$

取 $X = \max\{X_1, X_2\}$，则当 $x > X$ 时，上述两个不等式同时成立。

于是，对于 $x > X$，一方面有 $$ f(x) < A + \varepsilon = A + \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2}, $$ 另一方面又有 $$ f(x) > B - \varepsilon = B - \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2}. $$

这就得到了矛盾：$\displaystyle f(x) < \frac{A+B}{2}$ 且 $\displaystyle f(x) > \frac{A+B}{2}$ 不可能同时成立。

因此假设不成立，故 $A = B$，极限唯一。

**证毕。**