人邮高数 第1章 第1-4-7题
📝 题目
7．证明函数的局部有界性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，那么存在常数 $M\gt 0$ 和 $X\gt 0$ ，使得 $|x|\gt X$时，有 $|f(x)| \leqslant M$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明：** 设 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} f(x) = A}$，其中 $A$ 是一个有限实数。 由极限的定义，对 $\varepsilon = 1 > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $$ |f(x) - A| < 1. $$
于是，由绝对值不等式， $$ |f(x)| = |f(x) - A + A| \leq |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|. $$
取 $M = 1 + |A| > 0$，则当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x)| \leq M$。 这就证明了函数在无穷远处具有局部有界性。$\square$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设极限存在
设 lim_{x→∞} f(x) = A，其中 A 是有限实数。
提示：明确极限存在的条件，A为常数。
步骤 2/4
目标：应用极限定义
由极限定义，对 ε=1>0，存在 X>0，使得当 |x|>X 时，有 |f(x)-A|<1。
公式：|f(x)-A|<1
提示：取ε=1是为了后续得到具体界。
步骤 3/4
目标：放缩不等式
利用绝对值不等式：|f(x)| = |f(x)-A+A| ≤ |f(x)-A| + |A| < 1 + |A|。
公式：|f(x)| ≤ |f(x)-A| + |A|
提示：三角不等式是关键。
步骤 4/4
目标：取M并结论
取 M=1+|A|>0，则当 |x|>X 时，有 |f(x)|≤M。证毕。
公式：M=1+|A|
提示：M依赖于A，但A是常数，所以M存在。
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