人邮高数 第5章 第5-3-9题

教材习题

📝 题目

9．求过点 $M(3,1,-2)$ 及直线 $\displaystyle \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知直线方程为 $$ \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1} $$ 所以直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (5, 2, 1) $$ 直线上取一点 $N(4, -3, 0)$。 点 $M(3,1,-2)$ 与点 $N$ 构成的向量为 $$ \overrightarrow{MN} = (4-3,\,-3-1,\,0-(-2)) = (1,\,-4,\,2) $$ 所求平面同时包含直线和点 $M$，因此平面的法向量 $\vec{n}$ 垂直于方向向量 $\vec{s}$ 和向量 $\overrightarrow{MN}$，即 $$ \vec{n} = \vec{s} \times \overrightarrow{MN} $$ 计算叉积： $$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot 2 - 1\cdot(-4)) - \mathbf{j}(5\cdot 2 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(5\cdot(-4) - 2\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(4+4) - \mathbf{j}(10 - 1) + \mathbf{k}(-20 - 2) $$ $$ = (8,\,-9,\,-22) $$ 取平面上一点 $M(3,1,-2)$，则平面方程为 $$ 8(x-3) - 9(y-1) - 22(z+2) = 0 $$ 化简： $$ 8x - 24 - 9y + 9 - 22z - 44 = 0 $$ $$ 8x - 9y - 22z - 59 = 0 $$ 因此所求平面方程为 $$ \boxed{8x - 9y - 22z - 59 = 0} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：提取直线的方向向量和直线上一点
由直线方程 \(\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}\) 得方向向量 \(\vec{s}=(5,2,1)\)，并取直线上一点 \(N(4,-3,0)\)。
提示：直线对称式方程的分母即为方向向量的分量，分子中的常数对应直线上一点。
步骤 2/4
目标：构造从直线上一点到已知点的向量
计算 \(\overrightarrow{MN} = (4-3, -3-1, 0-(-2)) = (1, -4, 2)\)。
提示：向量坐标等于终点坐标减起点坐标。
步骤 3/4
目标：求平面的法向量
平面的法向量 \(\vec{n}\) 垂直于 \(\vec{s}\) 和 \(\overrightarrow{MN}\)，故 \(\vec{n} = \vec{s} \times \overrightarrow{MN}\)。计算叉积：\(\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{vmatrix} = (8, -9, -22)\)。
公式：\vec{n} = \vec{s} \times \overrightarrow{MN}
提示：叉积计算时注意符号，可用行列式记忆。
步骤 4/4
目标：写出平面方程
取点 \(M(3,1,-2)\)，法向量 \((8,-9,-22)\)，得平面方程 \(8(x-3) - 9(y-1) - 22(z+2) = 0\)，化简得 \(8x - 9y - 22z - 59 = 0\)。
公式：点法式：\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
提示：化简时注意合并常数项。

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