人邮高数 第5章 第5-4-10题
📝 题目
10．化曲线的一般方程 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8 \text { ，为参数方程．} \\ x=2\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 给定曲线的一般方程为： $$ \begin{cases} x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8, \\ x=2. \end{cases} $$ 首先将 $x=2$ 代入第一个方程： $$ 2^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8, $$ 即 $$ 4+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8, $$ 整理得 $$ (y-2)^{2}+(z+1)^{2}=4. $$ 这是一个在 $x=2$ 平面上的圆，圆心为 $(2,2,-1)$，半径为 $2$。
我们可以引入参数角 $\theta$，令 $$ y-2 = 2\cos\theta,\quad z+1 = 2\sin\theta, $$ 于是 $$ y = 2 + 2\cos\theta,\quad z = -1 + 2\sin\theta. $$ 又已知 $x=2$ 为常数，因此曲线的参数方程为： $$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 2 + 2\cos\theta, \\ z = -1 + 2\sin\theta, \end{cases} \quad \theta \in [0, 2\pi). $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：代入x=2到第一个方程
将x=2代入方程x^2+(y-2)^2+(z+1)^2=8，得到4+(y-2)^2+(z+1)^2=8。
公式：2^2+(y-2)^2+(z+1)^2=8
提示：注意代入后化简。
步骤 2/4
目标：化简方程
移项得(y-2)^2+(z+1)^2=4。
公式：(y-2)^2+(z+1)^2=4
提示：这是一个圆的方程。
步骤 3/4
目标：引入参数θ
令y-2=2cosθ, z+1=2sinθ，则y=2+2cosθ, z=-1+2sinθ。
公式：y-2=2cosθ, z+1=2sinθ
提示：参数θ的取值范围为[0,2π)。
步骤 4/4
目标：写出参数方程
结合x=2，得到参数方程：x=2, y=2+2cosθ, z=-1+2sinθ。
公式：x=2, y=2+2cosθ, z=-1+2sinθ
提示：最终结果。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。