人邮高数 第6章 第6-1-6题
📝 题目
6．判定下列函数在何处间断． （1）$\displaystyle z=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}-1}$ ； （2）$\displaystyle z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ ； （3）$\displaystyle z=\frac{x+y}{y-2 x^{2}}$ ； （4）$\displaystyle z=\sin \frac{1}{x+y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 以下依次判定各函数的间断点（即函数无定义的点）。
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（1） 函数 $$ z=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}-1} $$ 分母为零时函数无定义，即 $$ x^{2}+y^{2}-1=0 $$ 所以间断点为圆周 $$ \boxed{x^{2}+y^{2}=1} $$ 所有该圆周上的点均为间断点。
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（2） 函数 $$ z=\frac{y^{2}+2x}{y^{2}-2x} $$ 分母为零时无定义，即 $$ y^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^{2}}{2} $$ 所以间断点为抛物线 $$ \boxed{x=\frac{y^{2}}{2}} $$ 所有该抛物线上的点均为间断点。
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（3） 函数 $$ z=\frac{x+y}{y-2x^{2}} $$ 分母为零时无定义，即 $$ y-2x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y=2x^{2} $$ 所以间断点为抛物线 $$ \boxed{y=2x^{2}} $$ 所有该抛物线上的点均为间断点。
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（4） 函数 $$ z=\sin\frac{1}{x+y} $$ 当分母为零时无定义，即 $$ x+y=0 $$ 所以间断点为直线 $$ \boxed{x+y=0} $$ 所有该直线上的点均为间断点。
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 所有题目仅需找出分母为零的曲线或直线，属于基础判断。