人邮高数 第1章 第1-5-*4题
📝 题目
＊4．如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足： （1）当 $x \in \dot{U}\left(x_{0}, r\right)$（或 $\left.|x|\gt X_{0}\right)$ 时，$g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \$x \rightarrow \infty)}} g(x)=A, \displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \$x \rightarrow \infty)}} h(x)=A$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \$x \rightarrow \infty)}} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \$x \rightarrow \infty)}} f(x)=A$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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本题是高等数学中经典的**夹逼准则（迫敛性定理）**的证明。我们以 $x \to x_0$ 的情形为例进行证明，$x \to \infty$ 的情形完全类似。
**证明：**
由条件 (2) 知： $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = A,\quad \lim_{x \to x_0} h(x) = A. $$
根据极限的定义，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$ 和 $\delta_2 > 0$，使得：
- 当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时，有 $|g(x) - A| < \varepsilon$，即 $$ A - \varepsilon < g(x) < A + \varepsilon. $$ - 当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时，有 $|h(x) - A| < \varepsilon$，即 $$ A - \varepsilon < h(x) < A + \varepsilon. $$
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, r\}$，其中 $r$ 是条件 (1) 中给定的去心邻域半径。则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，同时满足：
1. 由条件 (1) 有： $$ g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x). $$ 2. 由上述极限不等式有： $$ A - \varepsilon < g(x) < A + \varepsilon,\quad A - \varepsilon < h(x) < A + \varepsilon. $$
于是，结合这两个不等式可得： $$ A - \varepsilon < g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) < A + \varepsilon, $$ 即 $$ A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon. $$
因此，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
由极限的定义可知： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A. $$
对于 $x \to \infty$ 的情形，只需将“存在 $\delta > 0$”改为“存在 $X > 0$”，将 $0 < |x - x_0| < \delta$ 改为 $|x| > X$，其余步骤完全一致，即可证明 $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A. $$
**结论：** 夹逼准则成立，即极限存在且等于 $A$。