人邮高数 第6章 第6-3-31题
📝 题目
31．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从该点到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，函数为 $$ z = f(x,y) = x^{2} + y^{2} $$ 在点 $P(1,2)$ 处沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数公式为 $$ \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P} = f_x(P)\cos\alpha + f_y(P)\cos\beta $$ 其中 $\cos\alpha,\cos\beta$ 是方向 $\vec{l}$ 的方向余弦。
**第一步：求梯度分量** $$ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) = 2x,\quad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = 2y $$ 在点 $(1,2)$ 处： $$ f_x(1,2) = 2,\quad f_y(1,2) = 4 $$
**第二步：确定方向向量及方向余弦** 从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向向量为 $$ \vec{l} = (2-1,\; 2+\sqrt{3}-2) = (1,\sqrt{3}) $$ 其模长 $$ |\vec{l}| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2 $$ 因此方向余弦为 $$ \cos\alpha = \frac{1}{2},\quad \cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
**第三步：代入方向导数公式** $$ \frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(1,2)} = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} $$
因此，所求方向导数为 $$ \boxed{1 + 2\sqrt{3}} $$
难度：★☆☆☆☆