人邮高数 第1章 第1-1-12题

[AI解答]

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已知 $f(x)=3x^2+4x$， $\varphi(t)=\lg(1+t)$，其中 $\lg$ 表示以10为底的对数。

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**1. 求 $f[\varphi(t)]$**

首先代入： $$ f[\varphi(t)] = 3[\varphi(t)]^2 + 4\varphi(t) = 3[\lg(1+t)]^2 + 4\lg(1+t) $$

定义域要求：$\varphi(t)$ 有意义，即 $1+t > 0 \Rightarrow t > -1$。 此外，$f$ 本身对自变量没有额外限制（多项式），所以定义域就是 $$ t > -1 $$

因此： $$ f[\varphi(t)] = 3\lg^2(1+t) + 4\lg(1+t), \quad t > -1 $$

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**2. 求 $\varphi[f(x)]$**

代入： $$ \varphi[f(x)] = \lg[1 + f(x)] = \lg(1 + 3x^2 + 4x) = \lg(3x^2 + 4x + 1) $$

定义域要求： $$ 3x^2 + 4x + 1 > 0 $$

解二次不等式： 先求根 $$ 3x^2 + 4x + 1 = 0 $$ 判别式 $\Delta = 16 - 12 = 4$， 根为 $$ x = \frac{-4 \pm 2}{6} $$ 即 $$ x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = -1 $$

由于二次项系数 $3>0$，抛物线开口向上，因此 $3x^2+4x+1 > 0$ 的解为 $$ x < -1 \quad \text{或} \quad x > -\frac{1}{3} $$

因此： $$ \varphi[f(x)] = \lg(3x^2+4x+1), \quad x \in (-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) $$

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**最终答案：**

- $f[\varphi(t)] = 3\lg^2(1+t) + 4\lg(1+t)$，定义域 $t > -1$ - $\varphi[f(x)] = \lg(3x^2+4x+1)$，定义域 $\displaystyle x \in (-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$