人邮高数 第6章 第6-3-33题
📝 题目
33．求函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向余弦 $\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，函数为 $$ z = \ln(x^2 + y^2) $$ 在点 $(1,1)$ 处，先计算梯度。
偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} $$ 代入点 $(1,1)$： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = \frac{2}{1+1} = 1, \quad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = \frac{2}{1+1} = 1 $$ 所以梯度为： $$ \nabla z(1,1) = (1, 1) $$
方向余弦给出方向向量： $$ \mathbf{l} = (\cos\alpha, \cos\beta) = \left( \frac12, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$
方向导数公式： $$ \frac{\partial z}{\partial l}\bigg|_{(1,1)} = \nabla z(1,1) \cdot \mathbf{l} = 1 \cdot \frac12 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$
因此，所求方向导数为： $$ \boxed{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}} $$
难度：★☆☆☆☆